Aksjomat determinacji

Aksjomat determinacji – zdanie w teorii mnogości postulujące zdeterminowanie pewnych gier nieskończonych .

W literaturze matematycznej istnieje cała rodzina aksjomatów determinacji, do najpopularniejszych należy jednak aksjomat AD, którego nie można udowodnić na gruncie aksjomatów ZF i który implikuje, że aksjomat wyboru jest fałszywy. Niesprzeczność AD jest równoważna z niesprzecznością istnienia pewnych dużych liczb kardynalnych .

W dalszej części tego artykułu będziemy używać oznaczeń i definicji wprowadzonych w artykule o grach nieskończonych .

Rys historyczny

• Pierwsza gra nieskończona była opisana w 1930 przez polskiego matematyka Stanisława Mazura w Problemie 43 w Księdze Szkockiej . Dzisiaj gra ta jest znana pod nazwą gry Banacha-Mazura .
• W 1962 polscy matematycy Jan Mycielski i Hugo Steinhaus zaproponowali badania aksjomatów determinacji. Aksjomaty te były intensywnie studiowane na początku lat 60. XX wieku przez Jana Mycielskiego i Stanisława Świerczkowskiego.
• W 1969 Donald A. Martin udowodnił, że jeśli istnieje liczba mierzalna oraz $A\subseteq \omega^\omega$ jest zbiorem analitycznym , to gra $\Game^\omega(A)$ jest zdeterminowana.
• W 1975 Martin wykazał, że jeśli $A\subseteq \omega^\omega$ jest zbiorem borelowskim , to gra $\Game^\omega(A)$ jest zdeterminowana.
• W końcu lat 80. XX wieku Hugh Woodin , Donald Martin i John Steel wykazali, że przy założeniu istnienia znacznie większych dużych liczb kardynalnych , wszystkie gry na zbiory z wyższych klas rzutowych też są zdeterminowane. Ponadto udowodnili oni, że jeśli istnieją odpowiednio duże liczby kardynalne, to ZF+AD jest niesprzeczne.
• W latach 90. XX wieku Woodin rozwinął teorię wokół pojęcia forsingu ${\mathbf P}_{\rm max}$, które okazało się kluczowym elementem badań struktury $({\mathcal H}(\omega_2), \in, I_{NS}$) przy założeniu AD w ${\mathbf{L}}({\mathbb R})$ (gdzie $I_{NS}$ jest ideałem niestacjonarnych podzbiorów $\omega_1$, a ${\mathcal H}(\omega_2)$ jest rodziną zbiorów dziedzicznie mocy $<\omega_2$).

Aksjomat i jego wersje

Definicje wstępne

Przypomnijmy następujące definicje:

• Niech ${\mathcal X}$ będzie zbiorem o przynajmniej dwóch elementach oraz niech $A\subseteq {\mathcal X}^\omega$. Gra $\Game^{\mathcal X}(A)$ pomiędzy graczami I i II jest zdefiniowana jako proces, w wyniku którego gracze konstruują ciąg nieskończony $\eta=\langle\eta(n):n\in\omega\rangle\in {\mathcal X}^\omega$ o wyrazach w ${\mathcal X}$ w taki sposób, że po tym jak już $\eta\upharpoonright n=\langle\eta(k):k<n\rangle$ zostało wybrane, to

jeśli $n$ jest parzyste, to gracz I wybiera $\eta(n)$, a

jeśli $n$ jest nieparzyste, to gracz II wybiera $\eta(n)$.

Po wykonaniu wszystkich ω kroków, kiedy gracze zbudowali ciąg $\eta=\langle\eta(n):n\in\omega\rangle\in {\mathcal X}^\omega$, powiemy, że gracz I wygrał partię η jeśli $\eta\in A$.

• Strategia dla gracza I to funkcja $\sigma:\bigcup\limits_{k\in\omega} {\mathcal X}^{2k}\longrightarrow {\mathcal X}$. Powiemy, że ciąg $\eta\in {\mathcal X}^\omega$ jest zgodny ze strategią σ jeśli $(\forall k\in\omega)(\eta(2k)=\sigma(\eta\upharpoonright 2k))$. Strategia σ dla gracza I jest strategią zwycięską gracza I w $\Game^{\mathcal X}(A)$, jeśli każdy ciąg η zgodny z σ należy do zbioru A.
• Strategia dla gracza II to funkcja $\tau:\bigcup\limits_{k\in\omega} {\mathcal X}^{2k+1}\longrightarrow {\mathcal X}$. Powiemy, że ciąg $\eta\in {\mathcal X}^\omega$ jest zgodny ze strategią τ jeśli $(\forall k\in\omega)(\eta(2k+1)=\tau(\eta\upharpoonright (2k+1)))$. Strategia τ dla gracza II jest strategią zwycięską gracza II w $\Game^{\mathcal X}(A)$ jeśli żaden ciąg η zgodny z τ nie należy do zbioru A.
• Powiemy że gra $\Game^{\mathcal X}(A)$ jest zdeterminowana, jeśli jeden z graczy ma strategię zwycięską.

Aksjomaty determinacji

• Aksjomat determinacji AD to zdanie

dla każdego zbioru $A\subseteq \omega^\omega$ gra $\Game^\omega(A)$ jest zdeterminowana.

• Aksjomat determinacji rzeczywistej ${\bold{AD}}_{\mathbb R}$ to zdanie

dla każdego zbioru $A\subseteq {\mathbb R}^\omega$ gra $\Game^{\mathbb R}(A)$ jest zdeterminowana

(gdzie ${\mathbb R}$ oznacza zbiór liczb rzeczywistych ).

• Aksjomat determinacji rzutowej PD to zdanie

dla każdego zbioru rzutowego $A\subseteq \omega^\omega$ gra $\Game^\omega(A)$ jest zdeterminowana.

Konsekwencje

• ${\bold{AD}}_{\mathbb R}$ implikuje AD.
• Następujące stwierdzenia są konsekwencjami AD:

1. Każdy podzbiór liczb rzeczywistych ma własność Baire'a .
2. Każdy podzbiór liczb rzeczywistych jest mierzalny w sensie miary Lebesgue'a .
3. Każdy nieprzeliczalny podzbiór liczb rzeczywistych zawiera podzbiór doskonały .
4. Dla każdego $x\subseteq\omega$, $\aleph_1$ jest liczbą nieosiągalną w ${\bold{L}}[x]$.
5. $\aleph_1$ jest liczbą mierzalną (a nawet filtr generowany przez cluby jest ultrafiltrem).
6. $\aleph_2$ jest liczbą mierzalną.

• Następujące stwierdzenia są konsekwencjami PD:

1. Każdy rzutowy podzbiór liczb rzeczywistych ma własność Baire'a.
2. Każdy rzutowy podzbiór liczb rzeczywistych jest mierzalny w sensie miary Lebesgue'a.
3. Każdy nieprzeliczalny rzutowy podzbiór liczb rzeczywistych zawiera podzbiór doskonały.

• Jeśli istnieje nieskończenie wiele liczb Woodina z liczbą mierzalną powyżej ich, to

1. ${\bold{L}}({\mathbb R})\models {\bold{AD}}$ oraz
2. PD jest prawdziwe.

• Teoria "ZF+AD" jest niesprzeczna wtedy i tylko wtedy, gdy niesprzeczna jest teoria "ZFC+ istnieje nieskończenie wiele liczb Woodina".

Zobacz też

• teoria mnogości
• opisowa teoria mnogości
• gry nieskończone