Kwadrat

Kwadrat ( łac. quadratum „czworobok, kwadrat”) – wielokąt foremny o czterech bokach (czworokąt foremny), czyli czworobok o czterech przystających bokach (a stąd równej długości) i tyluż przystających kątach wewnętrznych (a stąd prostych ). Można go również scharakteryzować jako prostokąt o przystających bokach (bądź równej długości), romb o przystających (bądź prostych) kątach wewnętrznych. Dowolne dwa kwadraty są podobne .

Kwadraty są ścianami sześcianu oraz niektórych wielościanów półforemnych , m.in. ośmiościanu ściętego .

Właściwości

Metoda kreślenia za pomocą cyrkla i liniału .

Z własności

• czworokątów :
  • suma miar wszystkich kątów wewnętrznych wynosi 2π (360°);
• równoległoboków :
  • przeciwległe boki są równoległe ,
  • przekątne przecinają się w połowie,
  • punkt przecięcia przekątnych jest środkiem symetrii ;
• prostokątów :
  • wszystkie kąty wewnętrzne są przystające (a stąd proste ),
  • przekątne są przystające (a stąd mają równą długość);
• rombów :
• przekątne zawierają się w dwusiecznych kątów wewnętrznych,
• przekątne są prostopadłe ;

Dodatkowo następujące własności są charakterystyczne dla kwadratów:

• ma cztery osie symetrii : dwie z nich to proste zawierające przekątne (jak w rombie), pozostałe dwie to symetralne boków (jak w prostokącie).
• osie symetrii dzielą go na osiem przystających trójkątów prostokątnych równoramiennych .

Wzory

• kolor czarny - brzeg kwadratu,
• kolor niebieski: okrąg opisany;
• kolor brązowy: okrąg wpisany.

Niech $\scriptstyle a$ oznacza długość boku pewnego kwadratu, a $\scriptstyle d$ będzie równe długości jego przekątnej . Prawdziwe są następujące wzory na:

• pole powierzchni ,

  $S = a^2 = \tfrac{d^2}{2} = \tfrac{\sqrt 2}{2}ad,$

• obwód ,

  $l = 4a,$

• promień okręgu wpisanego ,

  $r = \tfrac{a}{2},$

• promień okręgu opisanego ,

  $R = \tfrac{\sqrt 2}{2} a = r\sqrt 2 = \tfrac{d}{2},$

• długość boku ,

  $a = 2r = R\sqrt 2 = \tfrac{\sqrt 2}{2}d,$

• Długość przekątnej ,

  $d = a\sqrt 2.$

Zobacz też

• kwadrat logiczny
• kwadraty: łaciński , grecko-łaciński (grecki lub Eulera),
• kwadrat magiczny
• kwadratura figury geometrycznej

Linki zewnętrzne

• Kwadrat w MathWorld ( ang. )