Zbiór Bernsteina

Zbiór Bernsteina - w topologii i opisowej teorii mnogości podzbiór przestrzeni polskiej , który jest w pewnym sensie bardzo nieregularny. Zbiór Bernsteina, jako podzbiór zbioru liczb rzeczywistych jest przykładem zbioru niemierzalnego (w sensie Lebesgue'a ). Nazwa pojęcia została wprowadzona dla uhonorowania niemieckiego matematyka, Felixa Bernsteina , który pierwszy rozważał zbiory tego typu w 1908 .

Definicja

Niech $X$ będzie nieprzeliczalną przestrzenią polską. Powiemy, że podzbiór $Z\subseteq X$ jest zbiorem Bernsteina w $X$ jeśli dla każdego nieprzeliczalnego zbioru borelowskiego $B\subseteq X$ spełnione są warunki

• $B\cap Z\neq \varnothing$
• $B\setminus Z\neq \varnothing$.

Własności

Niech $X$ będzie nieprzeliczalną przestrzenią polską oraz niech $Z\subseteq X$. Wówczas następujące warunki są równoważne:

• $Z$ jest zbiorem Bernsteina,
• ani $Z$ ani $X\setminus Z$ nie zawiera nieprzeliczalnego domkniętego podzbioru $X$,
• zarówno $Z$ jak i $X\setminus Z$ ma niepusty przekrój z każdym nieprzeliczalnym domkniętym podzbiorem $X$.

Jeśli $Z\subseteq X$ jest zbiorem Bernsteina, to:

• $X\setminus Z$ jest zbiorem Bernsteina,
• $Z$ nie ma własności Baire'a ,
• $Z$ jest niemierzalny względem dowolnej niezerowej miary Radona na $X$.

Istnieją takie dwie podgrupy $G_1, G_2$ grupy $(\mathbb{R}, +)$ dla których

$G_1\cap G_2=\{0\}$

i które są zbiorami Bernsteina.

Konstrukcja

Dowód istnienia zbiorów Bernsteina wymaga użycia AC . Jan Mycielski , Hugo Steinhaus i Stanisław Świerczkowski udowodnili, że pod założeniem aksjomatu determinacji nie istnieją zbiory Bernsteina.

Poniższe rozumowanie oparte jest o twierdzenie Zermelo , które mówi, że każdy zbiór można dobrze uporządkować (twierdzenie Zermelo jest równoważne aksjomatowi wyboru ).

Niech $X$ będzie nieprzeliczalną przestrzenią polską - wówczas $X$ jest mocy continuum oraz rodzina wszystkich borelowskich podzbiorów $X$ jest również mocy continuum. Wobec powyższego można wybrać listę

$\langle B_\alpha:\alpha<2^{\aleph_0}\rangle$

złożoną ze wszystkich nieprzeliczalnych borelowskich podzbiorów $X$. (Gdzie $2^{\aleph_0}$ jest traktowane jako liczba porządkowa .) Teraz przez indukcję ze względu na $\alpha<2^{\aleph_0}$ można wybrać takie punkty $x_\alpha, y_\alpha\in X$, że:

$x_\alpha\neq y_\alpha$,

$x_\alpha, y_\alpha\in B_\alpha \setminus \{x_\beta, y_\beta:\beta<\alpha\}$.

Wybór jest możliwy, ponieważ na kroku $\alpha<2^{\aleph_0}$ wiadomo, że zbiór $B_\alpha$ jest nieprzeliczalny a więc (jako zbiór borelowski) także mocy continuum , natomiast zbiór $\{x_\beta, y_\beta:\beta<\alpha\}$ jest mocy mniejszej niż continuum.

Po zakończeniu powyższego procesu, skonstruowane zbiory

$\{x_\alpha\colon\, \alpha<2^{\aleph_0}\}$ i $\{y_\alpha\colon\, \alpha<2^{\aleph_0}\}$

są rozłączne oraz każdy z nich jest zbiorem Bernsteina.

Wzmocnienie

Powyższą konstrukcję można wzmocnić: dla dowolnej nieprzeliczalnej przestrzeni polskiej istnieje jej rozbicie $(X_\alpha)_{\alpha<2^{\aleph_0}}$ na continuum zbiorów Bernsteina.

Bibliografia

• A. B. Kharazishvili, Nonmeasurable sets and functions. North-Holland Mathematics. Studies, 195. Elsevier Science B.V., Amsterdam, 2004, ss. 17-26

Zobacz też

• zbiór Vitalego ,
• miara Lebesgue'a ,
• własność Baire'a .